[수지수학학원 설연고] 수학개념 - 유한소수로 나타낼 수 있는 분수 (2025)

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안녕하세요~^^

수지 소수 정예 전문 수학학원 설연고입니다.​

오늘은 유한소수로 나타낼 수 있는 분수에 대해 설명해 드리고자 합니다.

아래의 내용을 참고해주세요!

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1. ‘유한소수로 나타낼 수 있는 분수’ 개념 알아보기

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1) 유한소수로 나타낼 수 있는 분수

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정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타내었을 때, 분모의 소인수가 2 또는 5 뿐이면 그 분수는 유한소수로 나타낼 수 있다.

[방법] 분수를 유한소수로 나타낼 때,

① 분모, 분자에 2 또는 5의 거듭제곱을 적당히 곱한다.

② 분모를 10의 거듭제곱의 꼴로 바꾸어 그 분수를 유한소수로 나타낸다.

예)

➡ 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이므로 유한소수로 나타낼 수 있다.

➡ 분모, 분자에 2를 곱하면

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2) 순환소수로 나타낼 수 있는 분수

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정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타내었을 때, 분모가 2와 5 이외의 소인수를 가지면 그 분수는 순환소수로 나타낼 수 있다.

예) ➡ 분모가 2와 5 이외의 소인수를 가지므로 순환소수로 나타낼 수 있다.

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2. 10의 거듭제곱을 이용하여 분수를 소수로 나타내기

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기약분수에서 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이면 분모를 10의 거듭제곱의 꼴로 고쳐서 유한소수로 나타낼 수 있다.

➡ 분모의 소인수 2와 5의 지수가 같아지도록 분모, 분자에 2 또는 5의 거듭제곱을 곱한다.

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다음은 분수 을 유한소수로 나타내는 과정이다. 안에 알맞은 수를 써넣으시오.

= = = 0.425

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(정답) 5²

(해설)

분모를 소인수분해하면 2³ × 5이므로 분모의 소인수 2와 5의 지수가 같아지도록 분모와 분자에 5²을 곱한다.

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다음 중 분모가 10의 거듭제곱인 분수로 나타낼 수 없는 것은?

①

②

③

④

⑤

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(정답) ④

(해설)

①

②

③

④ 이므로 10의 거듭제곱인 분수로 나타낼 수 없다.

⑤

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3. 유한소수로 나타낼 수 있는 분수

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분수를 소수로 나타낼 때

① 주어진 분수를 기약분수로 나타낸다.

② 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이면 ➡ 유한소수

분모에 2와 5 이외의 소인수가 있으면 ➡ 순환소수

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다음 분수 중 소수로 나타낼 때, 유한소수로 나타낼 수 없는 것은?

①

②

③

④

⑤

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(정답) ③

(해설)

① ➡ 유한소수

② ➡ 유한소수

③ ➡ 순환소수

④ ➡ 유한소수

⑤ ➡ 유한소수

따라서 유한소수로 나타낼 수 없는 것은 ③이다.

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다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것을 모두 고르시오.

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(정답)

(해설)

➡ 유한소수

➡ 순환소수

➡ 순환소수

➡ 유한소수

➡ 순환소수

따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 이다.

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4. B/A × x가 유한소수가 되도록 하는 x의 값 구하기

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가 유한소수가 되도록 하는 의 값은 다음과 같은 순서로 구한다.

① 를 기약분수로 나타낸다.

② ①의 분모를 소인수분해한다.

③ 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이어야 하므로 는 분모의 소인수 중 2와 5 이외의 소인수들의 곱의 배수이다.

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× 를 소수로 나타내면 유한소수가 될 때, 의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수를 구하시오.

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(정답) 7

(해설)

× 를 유한소수로 나타낼 수 있으면 는 7의 배수이어야 한다. 따라서 의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 7이다.

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를 소수로 나타내면 유한소수가 될 때, 다음 중 의 값이 될 수 없는 것은?

① 21

② 27

③ 42

④ 63

⑤ 105

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(정답) ②

(해설)

를 유한소수로 나타낼 수 있으면 는 3 × 7 = 21을 약분할 수 있는 수인 21의 배수여야 한다. 따라서 의 값이 될 수 없는 것은 27이다.

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5. B/(A × x)가 유한소수가 되도록 하는 x의 값 구하기

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가 유한소수가 되도록 하는 의 값이 될 수 있는 수는 다음과 같다.

① 소인수가 2 또는 5로만 이루어진 수

② 를 기약분수로 나타냈을 때 그 분수의 분자의 약수

③ ①과 ②의 곱으로 이루어진 수 ➡ 즉, (소인수가 2 또는 5뿐인 수) × (기약분수로 나타냈을 때 분자의 약수)

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분수 을 소수로 나타내면 유한소수일 때, 다음 중 의 값이 될 수 없는 것은?

① 7

② 14

③ 21

④ 28

⑤ 35

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(정답) ③

(해설)

①

②

③ 이므로 유한소수로 나타낼 수 없다.

④

⑤

따라서 의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.

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분수 을 소수로 나타내면 유한소수가 될 때, 의 값이 될 수 있는 한 자리의 자연수의 합을 구하시오.

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(정답) 27

(해설)

을 유한소수로 나타낼 수 있으면 의 값은 소인수가 2 또는 5뿐인 수 또는 7의 약수 또는 이들의 곱으로 이루어 진 수이어야 한다.

따라서 의 값이 될 수 있는 한 자리의 자연수는 1, 2, 4, 5, 7, 8이므로 구하는 합은 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27

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6. 두 분수가 모두 유한소수가 되도록 하는 값 구하기

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두 분수에 자연수를 곱하여 유한소수가 되도록 하려면

① 주어진 두 분수를 기약분수로 나타낸다.

② 분모를 소인수분해한다.

③ 두 분수의 분모의 소인수가 모두 2 또는 5로만 이루어지도록 적당한 수를 곱한다.

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두 분수 와 에 어떤 자연수 를 각각 곱하여 소수로 나타내면 모두 유한소수가 된다고 한다. 이때 두 자리 자연수 중에서 의 값이 될 수 있는 것의 개수를 구하시오.

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(정답) 3개

(해설)

에서 는 3의 배수이어야 하고, 에서 는 11의 배수이어야 하므로 는 3과 11의 공배수인 33의 배수이어야 한다. 따라서 두 자리 자연수 중에서 의 값이 될 수 있는 수는 33, 66, 99의 3개이다.

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두 분수 , 에 어떤 자연수 를 곱하여 두 수 모두 유한소수가 되게 하려고 한다. 다음 중 의 값이 될 수 있는 것을 모두 고르면? (정답 2개)

① 7

② 14

③ 27

④ 63

⑤ 189

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(정답) ④, ⑤

(해설)

에서 는 7의 배수이어야 하고, 에서 는 9의 배수이어야 하므로 는 7과 9의 공배수인 63의 배수이어야 한다. 따라서 보기 중 63의 배수는 ④, ⑤이다.

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7. 유한소수가 되도록 하는 수를 찾고 기약분수로 나타내기

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를 소수로 나타낼 때, 유한소수가 되도록 하려면

① 분모의 소인수 3이 분자에 의해 약분되어 없어져야 하므로 는 3의 배수여야 한다.

➡ = 3, 6, 9, 12, …

② = 3, 6, 9, 12, … 일 때, 기약분수로 나타내면

, , , ,

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분수 를 소수로 나타내면 유한소수가 되고, 이 분수를 기약분수로 나타내면 이 된다. 가 한 자리의 자연수일 때, 의 값을 구하시오.

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(정답) 17

(해설)

를 유한소수로 나타낼 수 있으면 는 3² = 9의 배수이어야 한다.

이때 는 한 자리의 자연수이므로 = 9

= 9를 대입하여 기약분수로 나타내면 이므로 = 8

∴ + = 9 + 8 = 17

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분수 을 소수로 나타내면 유한소수이고, 이 분수를 기약분수로 나타내면 이 된다고 한다. 가 10 < < 15인 자연수일 때, - 의 값을 구하시오.

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(정답) 2

(해설)

를 유한소수로 나타낼 수 있으면 는 3의 배수이어야 한다.

이때 10 < < 15이므로 = 12

= 12를 대입하여 기약분수로 나타내면 이므로 = 10

∴ - = 12 - 10 = 2

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8. 순환소수가 되도록 하는 미지수의 값 구하기

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분수를 소수로 나타낼 때 순환소수로 나타내어지려면

➡ 분수를 기약분수로 나타냈을 때 분모에 2와 5 이외의 소인수가 있어야 한다.

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분수 을 소수로 나타내면 순환소수가 될 때, 의 값이 될 수 있는 한 자리 자연수를 모두 구하시오.

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(정답) 7, 9

(해설)

이 순환소수로 나타내어지려면 기약분수의 분모에 2와 5 이외의 소인수가 있어야 한다. 따라서 의 값이 될 수 있는 한 자리 자연수는 7, 9이다.

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분수 를 소수로 나타내면 순환소수가 될 때, 다음 중 의 값이 될 수 있는 것은?

① 3

② 5

③ 7

④ 9

⑤ 21

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(정답) ④

(해설)

가 순환소수로 나타내어지려면 기약분수의 분모에 2와 5 이외의 소인수가 있어야 한다.

①

②

③

④

⑤

따라서 의 값이 될 수 있는 것은 ④이다.

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[네이버 지식백과] 유한소수로 나타낼 수 있는 분수 (중학수학 비주얼 개념사전 2학년 1학기, 2019. 02. 27., 이지관, 이채현, 참쌤스쿨 김차명, 배준호, 강세라, 김화인, 서휘경)

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지금까지 수지 수학학원 설연고 학원과 함께

유한소수로 나타낼 수 있는 소수에 대해 알아보았습니다.

위 내용을 참고하여 유한소수로 나타낼 수 있는 소수에 대한 내용을 정리해보는 시간을 갖길 바라겠습니다.

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수학 상담을 원하시면 아래 번호로 전화 주세요. :)

감사합니다^^

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